どうも！こんにちは。カサニマロです。
皆さん元気ですか。今日も一日頑張りましょう～。さて、今日のお題はこちらです！
【お題】フーリエ級数
数学科で解析系を選んだら大抵２、３年の時にこんな感じのことをします。
工学系でもやる大学もあるみたいです。
レイアウト変な感じですが雰囲気だけ見て欲しいってことでご容赦ください
なんと\( f(x)= x \)みたいにキレイな式だろうと\( f(x)= x^{100} – x^{7} + x^{-3} + 2 \)みたいにごちゃごちゃしてても↑の式によって\(sin\)と\(cos\)の式によって近似できるのです。
nが大きい方が近似の精度が高いです。
追記（とばしてください）
↑の定義に出てくる\(f(x)\)は周期関数である。 あるT>0があって、全てのx∈Rに対して\(f(x+T) = f(x)\)であるとき、\(f(x)\)は周期Tの関数であるという。
Q「\(f(x)\)って周期関数じゃなくね？」
A \(f(x)= x^{2} (-\pi \le x \le \pi ) \)のような範囲に\(f(x)\)をとって考えるので大丈夫です。
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近似がうまくできること
定義（ \( L_{2}(I) \)内積・ \( L_{2}(I) \)ノルム）
\[ (f,g)_{L_{2}(I)} := \int_a^b f(x)\overline{ g(x) } dx \\ \| f \|_{L_{2}(I)} := \sqrt{ \int_a^b |f(x)|^{2} dx } \]
\(L^{2}\)ノルムは関数fの大きさを測るイメージ
\(L^{2}\)内積はfとgの角度を測るイメージ
\( (f,g)_{L^{2}(I)} := \int_a^b f(x)\overline{ g(x) } dx = 0 \) のとき、fとgは\(L^{2}\)において直交するという
\( \varphi_{n}(x) := \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{inx} \) と定義するとき
\( (\varphi_{m}, \varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)} = \delta(m,n) (m,n \in \mathbb{Z} ) \) となり、関数列\( {f_{n}(x)}^{\infty}_{n=1} \)は\(L^{2}\)で正規直交系をなすという。
注意
たいてい「キレイ」な関数なのでルベーグ積分の値＝リーマン積分の値 となり、特別な問題でない限り、今まで通りリーマン積分で計算できる。
正規直交基底と言わず、正規直交系と言ったのは、まだファイたちが基底になるかが現段階ではわからないから。
\[ \varphi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} であり\\ c_{n}[f] = \sqrt{2\pi}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}と書けるので、 \\ S[f](x) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n}(X) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}\varphi_{n}(x) \\ この式を見ると、いかにも\varphi_{n}がfの基底になりそうなのが分かる。（将来、定理よりfが区分的にC^{1}で連続なら、S[f](x)=f(x)が証明される） \]
\(L^{2}\)内積はfとgの角度を測るイメージ
\( (f,g)_{L^{2}(I)} := \int_a^b f(x)\overline{ g(x) } dx = 0 \) のとき、fとgは\(L^{2}\)において直交するという
\( \varphi_{n}(x) := \frac{1}{ \sqrt{2\pi} }e^{inx} \) と定義するとき
\( (\varphi_{m}, \varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)} = \delta(m,n) (m,n \in \mathbb{Z} ) \) となり、関数列\( {f_{n}(x)}^{\infty}_{n=1} \)は\(L^{2}\)で正規直交系をなすという。
注意
たいてい「キレイ」な関数なのでルベーグ積分の値＝リーマン積分の値 となり、特別な問題でない限り、今まで通りリーマン積分で計算できる。
正規直交基底と言わず、正規直交系と言ったのは、まだファイたちが基底になるかが現段階ではわからないから。
\[ \varphi_{n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx} であり\\ c_{n}[f] = \sqrt{2\pi}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}と書けるので、 \\ S[f](x) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n}(X) = \Sigma^{\infty}_{n=-\infty}(f,\varphi_{n})_{L^{2}(-\pi,\pi)}\varphi_{n}(x) \\ この式を見ると、いかにも\varphi_{n}がfの基底になりそうなのが分かる。（将来、定理よりfが区分的にC^{1}で連続なら、S[f](x)=f(x)が証明される） \]
↓はよく使う不等式
補題（コーシー・シュワルツの不等式）
f,g:区分的連続
\[ \begin{align} |(f,g)_{L^{2}(I)}| \leq \| f \|_{L^{2}(I)} \| g \|_{L^{2}(I)} \\\\\ 〜証明の方針〜 \\\ 0 \leq \int_a^b | f(x) + te^{i\alpha}g(x) |^{2} dx \\ を式変形していくと、 \\ tに関する2次方程式となり、判別式を考えて解ける。 \end{align} \] また、この式より \[ \|f + g \|_{L^{2}(I)} \leq \|f \|_{L^{2}(I)} + \|g \|_{L^{2}(I)} \] が導かれる（三角不等式）
f,g:区分的連続
\[ \begin{align} |(f,g)_{L^{2}(I)}| \leq \| f \|_{L^{2}(I)} \| g \|_{L^{2}(I)} \\\\\ 〜証明の方針〜 \\\ 0 \leq \int_a^b | f(x) + te^{i\alpha}g(x) |^{2} dx \\ を式変形していくと、 \\ tに関する2次方程式となり、判別式を考えて解ける。 \end{align} \] また、この式より \[ \|f + g \|_{L^{2}(I)} \leq \|f \|_{L^{2}(I)} + \|g \|_{L^{2}(I)} \] が導かれる（三角不等式）
fを三角関数系の線型結合で\(L^{2}\)ノルムを使って近似をする際、フーリエ係数が最良になる（\(L^{2}\)最良近似）
任意のN（自然数）と任意の複素数列 \( \{d_{n} \}^{N}_{n=-N} \) に対して、
\[ \begin{eqnarray} \| f – \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} &\leq \| f – \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}d_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} \\\\ 2\pi\Sigma^{N}_{n=-N} |c_{n}[f]|^{2} &\leq \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} dx \end{eqnarray} \]
\[ \begin{eqnarray} \| f – \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}c_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} &\leq \| f – \Sigma^{N}_{n=-N}\sqrt{2\pi}d_{n}[f]\varphi_{n} \|^{2}_{L^{2}(-\pi,\pi)} \\\\ 2\pi\Sigma^{N}_{n=-N} |c_{n}[f]|^{2} &\leq \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^{2} dx \end{eqnarray} \]
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