あのM1Championが数学解説！？【整数問題】

※写真はイメージです。

架空の漫才師さんに数学の問題を解説していただきました。

問題

nが自然数の時　n, n³+3, n⁵+5, n⁷+7　が全て素数になるか。なるなら、全て列挙し、ないならそれを証明してください。

です

本編

ツッコミ「どうもーどうも ミ＊＊ボーイですー」
ボケ＆ツッコミ「お願いしますー　ありがとうございますー」
ツッコミ「あー ありがとうございますー　ねっ　今n=1,2の計算結果をいただきましたけどもね」
ボケ＆ツッコミ「ありがとうございますー」
ツッコミ「こんなん　なんぼあっても良いですからね」
ボケ「一番良いですからね」
ツッコミ「ねー 有り難いですよ　ほんとにね」
ボケ「入れておきましょう」
ツッコミ「ゆーとりますけどもね」
ボケ「いきなりですけどね　うちの兄貴がね　好きな自然数nがあるらしいんやけど」
ツッコミ「あっ　そーなんや」
ボケ「その自然数をちょっと忘れたらしくてね」
ツッコミ「自然数忘れてもうて　どうなってんねそれ」
ボケ「でまあ色々聞くんやけどな　全然分からへんねんな」
ツッコミ「分からへんの？　いや　ほな俺がね　兄貴の好きな自然数n　ちょっと一緒に考えてあげるから　どんな特徴ゆうてたかってのを教えてみてよ」
ボケ「あのー　n+1が素数になる　って言うねんな」
ツッコミ「おー　nは１か偶数やないかい　その特徴はもう完全に偶数やがな」
ボケ「1か偶数なぁ　nが3以上の奇数やったら　n+1が　４以上の２の倍数　になってまうもんな〜」
ツッコミ「すぐ分かったやん　兄貴の好きな数字はn=1か偶数とちゃうか」
ボケ「いや俺もn=1か偶数　と思うてんけどな」
ツッコミ「いやそうやろ？」

ボケ「兄貴が言うには　n³+3も素数やって言うねんな」
ツッコミ「あー　ほなn=1は違うかぁ　1^3+3=4でええ訳ないもんね」
ボケ「そやねん　nが偶数かどうかも怪しいねん」
ツッコミ「いや、nが偶数なら　n³+3が奇数で素数かもしれんから　そこはセーフであってるのよ。　ただnが奇数なら　n³も奇数で、n³+3が偶数でアウトやねん」
ボケ「なるほどな」
ツッコミ「な？　n³+3側もね　２になることはないのよ。　やから　素数n³+3は奇数とみなせるのよ」
ボケ「確かにな　２以外の素数は全部奇数やもんな」
ツッコミ「ほな　nは偶数やがなこれ」
ボケ「そやな」
ツッコミ「あれほな他になんか言ってなかった？」

ボケ「n⁵+5も素数になるらしいねん」
ツッコミ「nは偶数やないかい　やっぱり。　nが偶数やったらn⁵も偶数なんやからあれ　そんでn⁵+5が奇数や　俺の目は騙されへんよ　俺騙したら大したもんや」
ボケ「まあねー」
ツッコミ「ほんであれよー見たらね　n=3m-1ちゃうか(mは自然数)　n=3mやと　n³+3は３の倍数や　n=3m+1やと　(3m+1)⁵+5は３の倍数や　　　俺は何でもお見通しやねんから　n=3m-1やそんなもんは」
ボケ「なんで分かんねん」
ツッコミ「(3m+1)⁵　は　３の倍数+1　やねん。」
ボケ「なんで分かんねん」
ツッコミ「これは宿題や」
ボケ「分かったわ」
ツッコミ「ほな　n=3m-1　で決まりや」
ボケ「そやねん　そやねん」
ツッコミ「な？　n=3m,3m+1,3m-1やと、n=1の時が網羅できてないけど、さっきn=1は否定したからね　自然数nの範囲もちゃんと網羅しとるで」
ボケ「そやねんそやねん」
ツッコミ「そういうカラクリやからあれ」
ボケ「そやねんな」
ツッコミ「整数問題ってな３で割った時の余りで考えることが多いねん」
ボケ「そやねんな」
ツッコミ「やからmod3で考えるのも相性いいねん」
ボケ「ほんまやな」
ツッコミ「そうやろ」
ボケ「ほな　n=3m-1　で決まりかぁ〜」
ツッコミ「そうや　n=3m-1　で決まりや。　兄貴もうちょっとなんか言ってなかった？」

ボケ「n⁷+7も素数になるらしいねん」
ツッコミ「ほなn=3m-1　も違うやないか」
ボケ「せやねん　せやねん」
ツッコミ「俺が整数問題は３の倍数試せ　って語った時　どう思っててんお前」
ボケ「申し訳ないよだから」

ツッコミ「n=3m-1　を　n⁷+7　に代入してみ」
ボケ「(3m-1)⁷+7　やな」
ツッコミ「(3m-1)⁷+7　も３の倍数やねん」
ボケ「なんで分かるねん」
ツッコミ「これは宿題その２や」
ボケ「分かったわ」
ツッコミ「いや結局　全部の条件を満たすような自然数nなんてないやんか〜」
ボケ「そういえば俺　兄貴おらんかったわ」
ツッコミ「いや　仮定が偽　やったんかい　もうええわー」
ボケ＆ツッコミ「ありがとうございましたー」