N≡1(mod3),N≡2(mod5),N≡3(mod7)となる自然数Nの内で、2025に最も近いものは何か？【数学】【MARCHレベル】

べんとう

こんにちは！「カサニマロブログ」へようこそ。
数学好きの皆さんも、これから数学に親しみたい方も、どうぞゆっくりしていってくださいね。

今回は、「N≡1(mod3), N≡2(mod5), N≡3(mod7)」という条件を満たす自然数Nを考え、その中で2022に最も近い数を見つけるという問題に挑みます。これは、中学や高校の数学で学ぶ「整数の性質」の内容を活用する、ちょっとした頭の体操のような問題ですね！

単に計算を進めるだけではなく、問題の背後にある理論や、それが実際にどのように役立つかを楽しみながら解説していきます。「難しそう…」と思った方も、この記事を読めば意外と面白いと思えるはず！

それでは早速、今回のテーマに取り組んでいきましょう！あなたも一緒に解法を探ってみませんか？

思考の流れを理解しよう

まずは以下に、思考の流れをつらつら書いてみます。

ひとまず、N≡1(mod3),N≡2(mod5),N≡3(mod7)という情報から、
Nは以下のように示そうですね。

N = 3a + 1…(1)
N = 5b + 2…(2)
N = 7c + 3…(3)

ここから多少乱暴ですが、(1)(2)を合わせた式を考えていきたいです。
つまるところ、「N = 15d + ?」という形が作れたら先に進めそうです。
なぜ「15」という数字が出てきたかというと、(1)(2)のそれぞれの係数3,5の最小公倍数から導き出しています。
このように「合わせた式」を考えるときはこのように最小公倍数を考えましょうね。

ポイント
言うマン

ポイント！

整数を表す２つの式を１つにまとめるときは必ず

「最小公倍数」を考えよう！

ここで「N=15d+?」を(4)とすると、(3)と(4)を合わせた式、
すなわち、「N = 105e + ??」が作れて先に進めそうですよね。

もう一度言いますが、
上記のような整数の式を”合わせる”ときは、「最小公倍数」の概念を用いることが多いです。

おさらいです。
まずは、3と5の最小公倍数を考えて15になり、その次に7と15の最小公倍数を考えて105という数字が登場したわけですね。

ってなわけで、まずはN = 15d + ?　の”？”に対応する数字を探します。
どういうことかっていうと、「３で割ったら１余り、５で割ったら２余る数字は、１５で割るとナンボ余るか」っていうのを考えればいいわけですね。

ここで、余りは0~14の15通りだけなので、最悪全部試せば答えは出るのですが、もうちょいスッとスマートな考え方をしたいです。

そこで、
「３で割ったら１余り、５で割ったら２余る数字は、15で割るとナンボ余るか」
という文言における「５で割ったら２余る数字」という部分にだけ着目してみましょう。

すると、５で割ったら２余る数字は「2」か「7」か「12」です。

ここで、頭のチャンネルを切り替えてください。
この中から「３で割ったら１余る数字」を探せばいいわけなので、当然「７」というふうに決まります。

よって、N = 15d + 7

これと、N = 7c + 3　に対してさっきの作業を再度行います。

「15で割ったら7余る数字」と言えば、「7」,「22」,「37」,「52」のいずれかなわけですが、
ここで、「7で割ったら3余る数字」は52しかありませんね。
実際に試してみてください。そうなるはずです。

故に、N = 105e + 52

あとはeの数字をどんどん大きくしながら代入していき、2025に一番近いものを探せばGOALです。

e=10のとき、105e=1050
e=20のとき、105e=2100
e=19のとき、105e=1995　となるので、

e=19のときの、N=1995+52=2047 が最も2025に近い数字となります。

答え：2047