表現行列のおさらい【大学数学】

この記事を見ている人は線形代数の教科書を持っている人が多いと思うので、教科書みたいに正確さ・網羅重視ではなく分かりやすや重視で書いてみました。

基底変換行列

基底変換行列とは、
Vの基底(a₁,・・・,a_n), (b₁,・・・,b_n)があり、
(b₁,・・・,b_n) = (a₁,・・・,a_n)P
を満たす正則行列Pのこと

標準行列

標準基底に関する表現行列のこと

f(標準基底）= (写像先の標準基底)A
このAが表現行列

表現行列

Vの基底：(a₁,・・・,a_n)
Wの基底：(b₁,・・・,b_m)
f: V→W

f(a_i) = a_1ib₁ + ・・・ + a_mib_m = (b₁,・・・,b_m)(a_1i,・・・,a_ni)^T
なので、まとめて書くと、

f(a₁,・・・,a_n) = (b₁,・・・,b_m)\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & & & \vdots : \\
a_{m1} & a_{n2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}\)

この\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & & & \vdots : \\
a_{m1} & a_{n2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}\)が(a₁,・・・,a_n)と(b₁,・・・,b_m)に関するfの表現行列

A=\(\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{1n} \\
\vdots & & & \vdots : \\
a_{m1} & a_{n2} & \ldots & a_{mn}
\end{pmatrix}\)とおく。

α=(a₁,・・・,a_n)
α’=(a’₁,・・・,a’_n)
β=(b₁,・・・,b_m)
β’=(b’₁,・・・,b’_m)
とおく

基底の変換と表現行列

Vの基底：αとα’
Wの基底：βとβ’
f: V→W
P：αからα’への変換行列
Q：βからβ’への変換行列
A：α,βに関するfの表現行列
A’：α’,β’に関するfの表現行列

命題
A' = Q-1AP

証明
f(α) = βA　より、β-1f(α) =A

　　α' = αP
f(α') = f(α)P　（∵　両辺をfで写像。線形性よりf(αP)=f(α)P。）
      = βAP　（A：α,βに関するfの表現行列）
      = β'Q-1AP　（∵ Q：βからβ'への変換行列）
      = β'A'　（∵　A'：α',β'に関するfの表現行列）

A' = Q-1AP　が示せた。

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