【小問５選】レベル１〜５【数学】【あなたはどこまで行ける？】

レベル１
問：(x-3)(x-1) = 3

レベル２
問：2x⁴+5x²-3=0

レベル3
問：x⁴ + 1を因数分解してね（x⁴-1じゃないよ）

レベル４
問：a,b,cは整数。a²+b²=c²を満たすとき、abcが偶数になることを示してね

レベル５
問：x⁸¹ + x⁴⁹ + x²⁵ + x⁹ + x を x³ – x で割った時の余りは？

番外編(むずいけど解答面白い)
長さaセンチの棒をb,c(b+c=a)センチに切り分けるとき、料金がbc円。
nセンチの棒を１センチn個に切り分けるとき、どんな切り方をしても同じ料金になることを証明してね
・ヒント
　料金を面積にして考えてみます（幾何的に解く）

答え

レベル１
x=0, 4

レベル２
2x⁴+5x²-3 = (2x²-1)(x²+3) = (√2x+1)(√2x-1)(x²+3) = 0
x= -1/√2, 1/√2

レベル３
x⁴ + 1
= (x²+1)² – 2x²
=(x²+√2x+1)(x²-√2x+1)

レベル４
a,b,cのそれぞれ偶奇のパターンを８(=2³)通り全て調べてもわかる。
背理法ならもう少し簡単で
abcが奇数→a,b,c全部奇数→a²,b²,c²も奇数→a²+b²(偶数)=c²(奇数)　矛盾。

レベル５
答え：5x
x⁸¹ + x⁴⁹ + x²⁵ + x⁹ + xは指数が全部奇数。
x⁸¹ + x⁴⁹ + x²⁵ + x⁹ + x = x⁷⁸(x³-x) + x⁷⁶(x³-x) + ……+ 2x⁴⁶(x³-x)+ 2x⁴⁴(x³-x) +…….+5(x³-x) + 5x

番外編
値段を面積にして考えてみる。